托伯列南国的旅行

--摘自《皇帝新脑》

    想象我们到某一遥远世界作远程旅行。我们称这一遥远世界为托伯列南国。现在把我们的遥感仪器收集到的信息展现在面前屏幕上。调好焦距后就看到了图1。

图1：奇异世界之第一瞥

    它为何物？它是一只形状古怪的昆虫吗？也许它是一个深颜色的并有许多山溪注入的湖泊。也许它是一座巨大的形状奇特的异国城市，公路沿着不同方向散开到附近的小镇和乡村去。它也许为一个岛屿——让我们寻找看在附近是否有和它相连接的陆地。我们可以后退一些，把我们的感觉仪器的放大倍数减少十五倍左右。嗬，整个世界进入了我们的视界之内（图2）。

图2：整个托伯列南国

   我们原先看到的“岛”在图2中看起来成为标记“图1”下的小斑点。除了一条连接到右手的裂缝上去的丝以外，从原先岛上出发的小片断（溪流、路径、桥梁？）全部都终结了。该裂缝最终接到我们在图2画出的大得多的物体上去。这个更大的物体虽然和我们第一次看到的岛不完全一样，但明显地相似。如果我们更仔细地审视这一物体和海岸线相对的东西，就发现多得数不清的圆形的瘤状结构。每一结构自身又具有类似的瘤。似乎每一小瘤都在某一微小的地方附在一个更大的瘤上，由此在大瘤上产生出许许多多的小瘤。当图像变得更清楚时，人们就看到了从这个结构发出的成千上万根的细丝。这些细丝在不同的地方分叉并常常剧烈的弯折。在细丝的某些点，我们似乎看到了具有现有的放大倍数的感觉仪器所不能分析的复杂扭结。很显然，这物体不是实际的岛屿或陆地，也不是任何风景。或许我们看到了某种怪诞的甲虫。我们首先看到的是它的婴儿，它用某种丝线状的脐带安静地把自己连接在母体上面。

图3：一个具有5性的细丝的瘤	图4：主夹缝：在右下方可见到海马谷

   让我们把感觉仪器的放大倍数提高十倍，再来考察这个怪物的一个瘤的性质（图3——其位置在图2中的“图3”标志的下面）。这个瘤本身和怪物整体非常相似——除了在接触点以外。请注意在图3中的不同地方五根细丝并到一块。这个特定的瘤似乎有一确定的“五性”（正如在最上面的瘤具有“三性”一样）。如果我们考察下一个相当尺度的瘤，在图2种稍微向左下方一点，我们就会在附近发现“七性”，在下一点为“九性”，并以此类推。当我们进入图2中的两个最大区域之间的裂缝，就会发现右边的瘤以奇数来表征，每回增加二。让我们钻到裂缝深处，把图2再放大十倍左右（图4）。我们看到其它许多小瘤以及扭转的结构。在右边称为“海马谷”的区域可鉴别出某些微小的涡旋状的“海马尾巴”。——如果放大倍数足够大的话，我们就将看到不同的“海乌贼”或者别具花样的区域。这也许的确是某种奇异的海岸线——也许是所有各色各样生命产生的珊瑚。看起来像是花的东西在更高的放大倍数下显得是由成千上万个微小，但同时确实不可思议的复杂的结构组成，每一结构都有极多的丝状物和扭转的涡旋尾巴。让我们稍微仔细地考察一个较大的海马的尾巴，也就是在图4中刚好能见到标志为“图5”的那个（它附在具有“二十九性”的瘤上面！）。大约再放大250倍左右，我们就得到了画在图5中的涡旋。我们发现这个尾巴非同寻常，它是由最复杂的、前后扭曲的、无数的小涡旋以及像章鱼和海马那样的区域组成的。

图5：海马尾巴的近窥	图6：两个涡旋汇合处的进一步放大细节，在中心除刚刚可以看到一个小的婴儿诞生

图7：婴儿进一步被放大后显得跟整个世界很相似

    在这个结构的许多地方刚好有两个涡旋碰到一起，让我们把放大倍数增加三十倍左右，以考察其中一处（在图5中的标志“图6”的下面）。请注意，我们是否发现了中间有个奇怪但是非常熟悉的对象？再放大六倍左右（图7）就能揭示出一个怪物的小婴儿——它几乎和我们考察过的整个结构完全一样！如果我们细看，就会发现从它那里出发的细丝和从主结构那里出来的略有差别。它们扭曲并延伸到更远得多的距离去。然而比细小结构本身和它的上一代毫无差别，甚至在非常相应的地方拥有自己的后代。如果我们还进一步放大，就能继续考察这些东西。孙子们又非常类似于它们的共同祖先——人们很容易相信，这些现象会无限地延续下去。只要不断地提高我们感觉仪器的放大倍数，就可随心所欲地探索托伯列南的奇异世界。我们发现了无穷尽的变化：没有两个区域是完全相像的——但是我们很快就会习惯于存在的一些普遍的风格。而熟知的类甲虫的结构以越来越小的尺度重新出现。每一回它的附近的细丝结构都和早先看到的不同，并以不可置信的复杂的美妙的新景象呈现在我们的面前。
    使我们目瞪口呆地奇异的、变化多端的、美妙的、复杂的国土究竟为何物呢？许多读者无疑已经知道。但还有一些读者不知道。这世界只不过是一个抽象数学形成的世界——称为孟德勒伯洛特集的集合（记为M）。尽管它无疑是复杂的，却是由极其简单的规则产生的！

    孟德勒伯洛特集是这样形成的，考虑下面这个跌代式子：Z_n=Z_n-1 ^2 +C，其中Z_n和C都是复数，我们让Z₀=0，则不同的常数C就给定了不同的跌代。如果当n->∞的时候|Z_n|->∞，那么就说这个C产生的跌代系统是无界的，否则当n->∞的时候|Z_n|是一个有限的数，则称这个C产生的跌代系统是有界的。 孟德勒伯洛特集就是符合下面定一的集合：M={C|其中C∈复数集合，并且C产生的跌代系统是有界的}。如果把集合内的元素画在平面上，并且用黑色的点标记，则会产生上面的各式各样的复杂图形。如果按照n->∞时|Z_n|大小不同而对应点不同就取不同灰度值则会产生上面的彩色图形。就是这样的简单规则，然而它却产生了如此复杂的结构！

    在上面描述孟德勒伯洛特集的时候，我们注意到了一个普遍的现象，那就是图形的局部和整体的自相似的特性，这就叫做分形特性。孟德勒伯洛特集是一种分形图形，除此之外，自然界的云、海岸线的形状、树枝的形状都可以看成是一种带有随机干扰的自相似图形，因此它们也称为分形图形。如果我们仍然用维度来度量分形图形的集合性质，则我们不得不放弃维度一定是整数这个概念，而把空间的维数扩展到分数的情况，因此，分形图形也可以理解为一种具有分数维的图形。